Question

如圖所示，在正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、D₁B₁的中點．求證：EF⊥平面B₁AC．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定

專題：計算題,作圖題,空間位置關(guān)系與距離

分析：以DC、DA、DD₁為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，從而得到向量

EF

=（-

1

2

，-

1

2

，

1

2

），

AC

=（1，-1，0），

AB1

=（1，0，1），從而證明

EF

⊥

AC

，

EF

⊥

AB1

，從而證明線面垂直．

解答： 證明：以DC、DA、DD₁為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體的邊長為1個單位長度，
則E（1，1，

1

2

），F(xiàn)（

1

2

，

1

2

，1），A（0，1，0），C（1，0，0），B₁（1，1，1），
則

EF

=（-

1

2

，-

1

2

，

1

2

），

AC

=（1，-1，0），

AB1

=（1，0，1），
則

EF

•

AC

=-

1

2

+

1

2

=0，

EF

•

AB1

=-

1

2

+

1

2

=0，
則

EF

⊥

AC

，

EF

⊥

AB1

，
則EF⊥平面B₁AC．

點評：本題考查了空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．