Question

若關(guān)于x的不等式a²-4+4x-x²＞0成立時(shí)，不等式|x²-4|＜1成立，則正數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：先求出|x²-4|＜1時(shí)x的取值范圍，把a(bǔ)²-4+4x-x²＞0變形為a²＞x²-4x+4=（x-2）²；
求出f（x）=（x-2）²在x∈（-

5

，-

3

）∪（

3

，

5

）時(shí)的最大值f（x）_max，從而求出a的取值范圍．

解答： 解：∵|x²-4|＜1，
∴-1＜x²-4＜1，
即3＜x²＜5，
解得-

5

＜x＜-

3

，或

3

＜x＜

5

；
又∵a²-4+4x-x²＞0，
∴a²＞x²-4x+4=（x-2）²；
設(shè)f（x）=（x-2）²，定義域?yàn)閤∈（-

5

，-

3

）∪（

3

，

5

），
當(dāng)x＜2時(shí)，f（x）是減函數(shù)，x≥2時(shí)，f（x）是增函數(shù)，
且2-（-

5

）＞2-

5

，
∴f（x）_max=f（-

5

），
即a²＞f（-

5

）；
解得a＞

5

+2，或a＜-2-

5

，
又∵a＞0，∴a＞

5

+2．
∴a的取值范圍是a＞

5

+2．
故答案為：a＞

5

+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化不等式a²-4+4x-x²＞0，是中檔題目．