Question

P是橢圓上的點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂是兩個(gè)焦點(diǎn)，則|PF₁|·|PF₂|的最大值與最小值之差是_____

Answer 1

5

分析：由題意，設(shè)|PF₁|=x，故有|PF₁|?|PF₂|=x（6-x）=-x²+6x=-（x-3）²+9，
其中3-≤x≤3+。根據(jù) 函數(shù)y=-x²+6x在（3-，3）上單調(diào)遞增，(3，3+)上單調(diào)遞減，可求y=-x²+6x的最小值與最大值，從而可求|PF₁|?|PF₂|的最大值和最小值之差。
解答：
由題意，設(shè)|PF₁|=x，
∵|PF₁|+|PF₂|=2a=6，
∴|PF₂|=6-x
∴|PF₁|?|PF₂|=x（6-x）=-x²+6x=-（x-3）²+9
∵橢圓c=，a=3
∴3-≤x≤3+
∵函數(shù)y=-x²+6x在（3-，3）上單調(diào)遞增，(3，3+)上單調(diào)遞減，
∴x=3-時(shí)，y=-x²+6x取最小值(3-)(3+)=4，
x=3時(shí)，y=-x²+6x取最大值為9，
∴|PF₁|?|PF₂|的最大值和最小值之差為9-4=5
故答案為：5
點(diǎn)評：本題以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為載體，考查橢圓定義的運(yùn)用，考查函數(shù)的構(gòu)建，考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題。