Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+a_n=1，數(shù)列{b_n}滿足b₁=4，b_n+1=3b_n-2；
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_nlog₃（b_2n-1-1），其前n項(xiàng)和為T_n，求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)遞推公式分別求出{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由錯(cuò)位相減求和法求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）①當(dāng)n=1時(shí)，a₁+S₁=1∴a₁=

1

2

②當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（1-a_n）-（1-a_n-1）=a_n-1-a_n，
∴a_n=

1

2

a_n-1
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=

1

2

為首項(xiàng)，公比為

1

2

的等比數(shù)列；
∴a_n=

1

2

•（

1

2

）^n-1=（

1

2

）ⁿ
∵b_n+1=3b_n-2
∴b_n+1-1=3（b_n-1）
又∵b₁-1=3∴{b_n-1}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列
∴b_n-1=3ⁿ、
∴b_n=3ⁿ+1       
（2）∵c_n=（

1

2

）ⁿ•log₃3^2n-1=（2n-1）•（

1

2

）ⁿ
∴S_n=1×

1

2

+3×（

1

2

）²+5×（

1

2

）³+…+（2n-3）•（

1

2

）^n-1+（2n-1）•（

1

2

）ⁿ
∴

1

2

S_n=1×（

1

2

）²+3×（

1

2

）³+5×（

1

2

）⁴+…+（2n-3）•（

1

2

）ⁿ+（2n-1）•（

1

2

）ⁿ⁺¹
∴（1-

1

2

）S_n=1×

1

2

+2[（

1

2

）²+（

1

2

）³+…+（

1

2

）^n-1+（

1

2

）ⁿ]-（2n-1）•（

1

2

）ⁿ⁺¹
=

3

2

-4×（

1

2

）ⁿ⁺¹-（2n-1）•（

1

2

）ⁿ⁺¹
=

3

2

-（2n+3）（

1

2

）ⁿ⁺¹
∴S_n=3-

2n+3

2n

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和數(shù)列求和，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用，特別是錯(cuò)位相減求和法的合理運(yùn)用．