Question

已知雙曲線x²-

y2

2

=1，過(guò)點(diǎn)P（2，1）能否作一條直線l，與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)？

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先，設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），點(diǎn)B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），得到2x₁²-y₁²=2 ①，2x₂²-y₂²=2 ②然后，①-②并結(jié)合有關(guān)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解．

解答： 解：設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），點(diǎn)B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
則2x₁²-y₁²=2 ①
2x₂²-y₂²=2 ②
①-②得
2（x₁+x₂）（x₁-x₂）-（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
2×2x₀-2y₀

y1-y2

x1-x2

=0，
∴8-2k=0，
∴k=4，
∴y-1=4（x-4），
∴直線l的方程為4x-y-15=0，
故答案為：4x-y-15=0．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系、中點(diǎn)弦問(wèn)題等知識(shí)，處理中點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)，常常采用“點(diǎn)差法”進(jìn)行處理．