【題目】已知函數(,且為自然對數的底數)
(1)判斷函數的單調性并證明;
(2)判斷函數的奇偶性并證明;
(3)是否存在實數,使不等式對一切都成立?若存在,求出的范圍,若不存在說明理由.
【答案】(1)增函數,證明見解析(2)奇函數,證明見解析(3)存在,
【解析】
(1)利用單調性的定義證明單調性;
(2)利用奇偶性的定義證明奇偶性;
(3)根據(1)(2)的結論脫去“f”,分離參數,轉化為二次函數問題,求實數t的取值范圍.
(1)任取x1,x2∈(﹣∞,+∞),且x1<x2,
則f(x2)﹣f(x1),
又y=ex在R上為增函數且ex>0,
∴,∴,
∴f(x2)>f(x1),
∴f(x)在(﹣∞,+∞)上是增函數.
(2)∵函數f(x)=ex﹣e﹣x,x∈R,定義域關于原點對稱,
又f(﹣x)=e﹣x﹣ex=﹣(ex﹣e﹣x)=﹣f(x),
∴f(x)為奇函數.
(3)由(1)(2)知f(x)在R上為奇函數且單調遞增,由
可得:,
∴,
即:對一切都成立,
又
解得:.
綜上存在實數,t的取值范圍是.
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【題目】已知函數f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函數.
(1)求k的值;
(2)設g(x)=log4,若函數f(x)與g(x)的圖象有且只有一個公共點,求實數a的取值范圍.
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【題目】定義在(0,+∞)上的函數f(x),對于任意的m,n∈(0,+∞),都有f(mn)=f(m)+f(n)成立,當x>1時,f(x)<0.
(1)求證:1是函數f(x)的零點;
(2)求證:f(x)是(0,+∞)上的減函數;
(3)當f(2)=時,解不等式f(ax+4)>1.
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【題目】已知定義域是R上的奇函數.
(1)求a;
(2)判斷在R上的單調性,并用定義法證明;
(3)若對任意的,不等式恒成立,求實數k的取值范圍;
(4)設關于x方程有零點,求實數b的取值范圍.
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【題目】從某食品廠生產的面包中抽取個,測量這些面包的一項質量指標值,由測量結果得如下頻數分布表:
質量指標值分組 | |||||
頻數 |
(1)在相應位置上作出這些數據的頻率分布直方圖;
(2)估計這種面包質量指標值的平均數(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表);
(3)根據以上抽樣調查數據,能否認為該食品廠生產的這種面包符合“質量指標值不低于的面包至少要占全部面包的規(guī)定?”
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【題目】已知函數
(1)在如圖所示給定的直角坐標系內畫出f(x)的圖象;
(2)寫出f(x)的單調遞增區(qū)間;
(3)由圖象指出當x取什么值時f(x)有最值.
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【題目】選修4-4:坐標系與參數方程
在直角坐標系中,直線的參數方程為(為參數).以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)若曲線上一點的極坐標為,且過點,求的普通方程和的直角坐標方程;
(2)設點,與的交點為,求的最大值.
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