Question

已知圓錐的表面積為a m²，且它的側面展開圖是一個半圓，求這個圓錐的底面直徑和體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積

專題：空間位置關系與距離

分析：首先，設圓錐母線長R，底面園半徑長r，然后，根據側面展開圖得到R=2r，然后，求解其底面直徑和體積．

解答： 解：設圓錐母線長R，底面園半徑長r，
∵側面展開圖是一個半圓，此半圓半徑為R，半圓弧長為2πr，
∴πR=2πr，
∴R=2r，
∵表面積是側面積與底面積的和，
∴S_表=

1

2

πR²+πr²
∵R=2r
∴S_表=3πr²=a，
∴r=

a 3π

，
∴圓錐的底面直徑2r=2

a 3π

，
∵圓錐的高為：h=

R2-r2

=

3

r，
∴V=

1

3

πr²h=

1

3

πr2

3

r
=

3

3

πr3=

a πa

9

，
∴圓錐的體積為

a πa

9

．

點評：本題重點考查了圓錐的結構特征、圓錐的表面積公式和體積公式及其靈活運用，屬于中檔題，解題關鍵是找到母線長和底面圓半徑之間的關系．