考點:數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)兩利用遞推式、等比數(shù)列的通項公式即可得出;
(2)利用對數(shù)的運算性質(zhì)可得bn,再利用“錯位相減法”可得Tn,利用“裂項求和”可得Jn,利用向量的單調(diào)性即可證明.
解答:
(1)解:∵2a
n=S
n+
,
∴當n=1時,
2a1=a1+,解得a
1=
;
當n≥2時,
2an-1=Sn-1+,
∴2a
n-2a
n-1=a
n,化為a
n=2a
n-1.
∴數(shù)列{a
n}是等比數(shù)列,
an=×2n-1=2
n-2.
(2)證明:a
n2=(
)
bn,
∴b
n=
log=
2log2n-2=2(2-n)=4-2n.
則c
n=
=
=
,
∴T
n=
4+0-1---…+
,
Tn=2+0-
---…+
+,
∴
Tn=4-2-1-
-
-…-
-
=8-
-
=
,
∴
Tn=.
∴d
n=
=
=
=
4(-),
J
n=d
2+d
3+…+d
n=
4[(1-)+(-)+
(-)+…+
(-)]=4
(1+--)≥J
2=
4×(1+--)=
.
∴J
n≥
(n≥2)
點評:本題考查了遞推式、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、對數(shù)的運算性質(zhì)、“錯位相減法”、“裂項求和”、數(shù)列的單調(diào)性,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.