Question

已知

a

=（

3

sin（π+ωx），cosωx），

b

=（sin（

3

2

π-ωx），-cosωx），ω＞0，設(shè)f（x）=

a

•

b

的最小正周期為π．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（-

π

3

，

π

6

）時(shí)，求f（x）的值域；
（Ⅲ）求滿足f（α）=0且-1＜α＜π的角α的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用向量數(shù)量積運(yùn)算公式及兩角和與差的三角函數(shù)以及二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，通過正弦函數(shù)的單調(diào)遞增間直接求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）通過x∈（-

π

3

，

π

6

），求出相位角的范圍，利用三角函數(shù)的值域直接求f（x）的值域．
（Ⅲ）由f（α）=0且-1＜α＜π得sin(2α-

π

6

)=

1

2

，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=

3

sin(π+ωx)sin(

3

2

π-ωx)-cos2ωx=

3

sinωxcosωx-cos2ωx
=

3

2

=sin2ωx-

1

2

cos2ωx-

1

2

=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

                       …（1分）
∴y=f（x）的最小正周期為T=π，ω＞0，即：

2π

2ω

=π，∴ω=1，
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）-

1

2

．…（2分）
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈Z…（4分）
（Ⅱ）∵-

π

3

＜x＜

π

6

∴-

5π

6

＜2x-

π

6

＜

π

6

∴-1≤sin(2x-

π

6

)＜

1

2

…（6分）
∴-

3

2

≤sin(2x-

π

6

)-

1

2

＜0
∴f(x)∈[-

3

2

，0)…（8分）
（Ⅲ）∵f（α）=0，∴sin(2α-

π

6

)-

1

2

=0，
∴sin(2α-

π

6

)=

1

2

∵0＜α＜π，∴-

π

6

＜2α-

π

6

＜

11π

6

，…（10分）
∴2α-

π

6

=

π

6

或

5π

6

∴α=

π

6

或

π

2

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算及兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．