Question

方程x²+（a-2）x+2a-1=0在（0，1）內(nèi)有且只有一個(gè)根，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令f（x）=x²+（a-2）x+2a-1，若函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)，則有f（0）f（1）＜0，由此求得a的范圍，．若函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)不單調(diào)，則有

△=(a-2)2-4(2a-1)=0 0＜ 2-a 2 ＜1

，求得a的值，再把這2個(gè)a的范圍取并集，即得所求．

解答： 解：∵方程x²+（a-2）x+2a-1=0在（0，1）內(nèi)有且只有一個(gè)根，令f（x）=x²+（a-2）x+2a-1，
若函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)，則有f（0）f（1）＜0，即 （2a-1）（3a-2）＜0，求得

1

2

＜a＜

2

3

．
若函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)不單調(diào)，則有

△=(a-2)2-4(2a-1)=0 0＜ 2-a 2 ＜1

，求得a=6-2

7

．
綜上可得，

1

2

＜a＜

2

3

，或a=6-2

7

．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．