Question

已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB=5，BC=4，AC=3，M 是AB邊上的點(diǎn)，P是平面ABC外一點(diǎn)．給出下列四個(gè)命題：
①若PM丄平面ABC，且M是AB邊中點(diǎn)，則有PA=PB=PC；
②若PC=5，PC丄平面ABC，則△PCM面積的最小值為

15

2

；
③若PB=5，PB⊥平面ABC，則三棱錐P-ABC的外接球體積為

125 2

6

π；
④若PC=5，P在平面ABC上的射影是△ABC內(nèi)切圓的圓心，則三棱錐P-ABC的體積為2

23

；
⑤若PA=5，PA⊥平面ABC，則直線MP與平面PBC所成的最大角正切值為

5

3

．
其中正確命題的序號(hào)是

 

． （把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：運(yùn)用三棱錐的棱長(zhǎng)的關(guān)系，求解線段，面積，體積，把三棱錐鑲嵌在長(zhǎng)方體中，求解外接圓的半徑，運(yùn)用的思想方法比較靈活，數(shù)學(xué)幾何知識(shí)多．

解答： 解：∵△ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB=5，BC=4，AC=3，
∴PM丄平面ABC，且M是AB邊中點(diǎn)，
∴MA=MB=MC
∴Rt△PMA≌Rt△PMB≌Rt△PMC，
∴PA=PB=PC，
∴①正確，
∵當(dāng)PC⊥面ABC，
∴△PCM面積=

1

2

×PC×CM=

1

2

×5×CM
又因?yàn)镃M作為垂線段最短=

12

5

，
△PCM面積的最小值為

1

2

×5×

12

5

=6，
∴②不正確．
∵若PB=5，PB⊥平面ABC，AB=5，BC=4，AC=3，
∴三棱錐P-ABC的外接球可以看做3，4，5為棱長(zhǎng)的長(zhǎng)方體，
∴2R=5

2

，R=

5 2

2

，
∴體積為

125 2 π

3

故③不正確．
∵△ABC的外接圓的圓心為O，PO⊥面ABC，
∵P²=PO²+OC²，
r=

3+4-5

2

=1，
OC=

2

，PO²=25-2=23
PO=

23

，

1

3

×

1

2

×3×4×

23

=2

23

，
故④正確
∵若PA=5，PA⊥平面ABC，則直線MP與平面PBC所成的最大角時(shí)，M點(diǎn)在A處，
∴Rt△PCA中，tan∠APC=

3

5

，
直線MP與平面PBC所成的最大角正切值為

3

5

，
故⑤不正確．
故答案為：①④

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間直線，幾何體的性質(zhì)，位置關(guān)系，求解面積，夾角問(wèn)題，屬于難題．