Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，SA⊥底面ABC，點B為以AC為直徑的圓上任意一動點，且SA=AB，點M是SB的中點，AN⊥SC且交SC于點N．
（I）求證：SC⊥面AMN
（Ⅱ）當AB=BC時，求二面角N-MA-C的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：對第（I）問，要證SC⊥面AMN，只需證明SC垂直于平面AMN內(nèi)的兩條相交直線，而已知AN⊥SC，所以只需證明SC⊥AM即可，從而問題轉(zhuǎn)化為證AM⊥平面SBC，由AM⊥SB知，只需證AM⊥BC，轉(zhuǎn)化為證BC⊥平面SAB，即證BC⊥AB，BC⊥SA即可．
對第（Ⅱ）問，利用向量法求解：以A為坐標原點，AB為x軸，過A且與BC平行的直線為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，分別求出平面AMN與平面AMC的法向量，由兩法向量的夾角探求二面角N-MA-C的大�。�

解答： 解：（Ⅰ）證明：∵SA⊥底面ABC，BC?底面ABC，∴BC⊥SA．
∵點B在以AC為直徑的圓上，則BC⊥AB，∴BC⊥平面SAB，
又∵AM?平面SAB，∴BC⊥AM．
∵SA=AD，M是SD的中點，∴AM⊥SB，∵BC∩SB=B，∴AM⊥平面SBC，
又∵SC?平面SBC，∴AM⊥SC．
由已知AN⊥SC，及AM與AN相交，知SC⊥平面AMN．
（Ⅱ） 如右圖所示，以A為坐標原點，AB為x軸，過A且與BC平行的直線為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，
可設(shè)AB=SA=1，則A（0，0，0），B（1，0，0）C（1，1，0），S（0，0，1），M(

1

2

，0，

1

2

)，
∴

AM

=(

1

2

，0，

1

2

)，

AC

=(1，1，0)，

CS

=(-1，-1，1)．
設(shè)平面ACM的法向量為

n

=(x，y，z)，則

n • AC =0 n • AM =0

，即

x+y=0 1 2 x+ 1 2 z=0

，取x=-1，可得一個法向量

n

=(-1，1，1)，
由（Ⅰ）知

CS

為平面AMN的一個法向量，∴cos＜

CS

，

n

＞=

CS • n

| CS || n |

=

1

3

，
由圖易知所求二面角為銳角，故二面角N-MA-C的余弦值是

1

3

．

點評：1．本題考查了線面垂直的定義與判定定理，一般情況下，定義用來證明線線垂直，判定定理用來證明線面垂直，應(yīng)注意體會線線垂直與線面垂直之間的靈活轉(zhuǎn)化．
2．還考查了二面角大小的求法，利用向量法求二面角的大小時，注意兩點：
（1）找兩半平面的法向量是關(guān)鍵；
（2）常根據(jù)原幾何體中二面角兩半平面的張開程度，或者兩法向量在坐標系中的大致指向來確定所求二面角與兩半平面法向量夾角的關(guān)系．