Question

已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O處，極軸與x軸的正半軸重合，直線l的參數(shù)方程為

x=tcosα y=tsinα

（t為參數(shù)，0≤α＜π），圓C的極坐標(biāo)方程為ρ²-8ρcosθ+12=0．若tanα=

1

2

，直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，求|OA|+|OB|的值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：選作題,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：把圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，把直線l的參數(shù)方程代入圓的方程，由韋達(dá)定理可得t₁+t₂=|OA|+|OB|=8cosα．再由條件求得cosα的值，可得|OA|+|OB|的值．

解答： 解：圓C的極坐標(biāo)方程為ρ²-8ρcosθ+12=0，化為直角坐標(biāo)方程為x²+y²-8x+12=0即（x-4）²+y²=4，
表示以（4，0）為圓心、半徑等于2的圓．
把直線l的參數(shù)方程

x=tcosα y=tsinα

代入圓的方程，可得 t²-8cosαt+12=0．
由韋達(dá)定理可得t₁•t₂=12＞0，t₁+t₂=|OA|+|OB|=8cosα．
再由直線l的傾斜角為α，且tanα=

1

2

，可得cosα=

2 5

5

，∴|OA|+|OB|=8×

2 5

5

=

16 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，參數(shù)的幾何意義，韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．