Question

已知點（1，

1

3

）是函數(shù)f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的圖象上一點，等比數(shù)列{a_n}的前n項和為f（n）-c，數(shù)列{b_n}（b_n＞0）的首項為c，且前n項和S_n滿足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項和為T_n，問滿足T_n＞

1003

2012

的最小值n是多少？

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導出c=1，公比q=

a2

a1

=

1

3

，從而得到an=-

2

3

•(

1

3

)n-1=-2•(

1

3

)n （n∈N^*）；由S_n-S_n-1=（

Sn

-

Sn-1

）（

Sn

+

Sn-1

）=

Sn

+

Sn+1

，（n≥2），得

Sn

-

Sn-1

=1從而得到數(shù)列{

Sn

}構成一個首項為1公差為1的等差數(shù)列．進而得到Sn=n2，由此求出b_n=2n-1，（n∈N^*）
（2）由

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂項求和法能求出滿足T_n＞

1003

2012

的最小正整數(shù)為168．

解答： 解：（1）f(1)=a=

1

3

，∴f(x)=(

1

3

)x
a1=f(1)-c=

1

3

-c，a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-

2

9

，
a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=-

2

27

，
又數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，a1=

a22

a3

=

4 81

- 2 27

=-

2

3

=

1

3

-c，
解得c=1，
又公比q=

a2

a1

=

1

3

，∴an=-

2

3

•(

1

3

)n-1=-2•(

1

3

)n （n∈N^*）
∵S_n-S_n-1=（

Sn

-

Sn-1

）（

Sn

+

Sn-1

）=

Sn

+

Sn+1

，（n≥2）
又b_n＞0＞0，

Sn

＞0，∴

Sn

-

Sn-1

=1
數(shù)列{

Sn

}構成一個首項為1公差為1的等差數(shù)列．

Sn

=1+（n-1）×1=n，∴Sn=n2，
當n≥2，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
∴b_n=2n-1，（n∈N^*）
（2）∵

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

，
由Tn=

n

2n+1

＞

1003

2012

，得n＞

1003

6

，
滿足T_n＞

1003

2012

的最小正整數(shù)為168．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，求滿足不等式的實數(shù)的最小值的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．