Question

數列{a_n}的前n項和S_n滿足：S_n=2a_n-4n（n∈N^*）．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=

an

λn

，其中λ＞0，若{b_n}為遞減數列，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

考點：數列遞推式,數列的函數特性

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）首先利用遞推關系式，整理構造新數列，利用新數列的特點求出通項．
（2）結合（1）的結論，和數列的遞減性，所以b_n+1-b_n＜0，進一步利用恒成立問題求出結果．

解答： 解：（1）數列{a_n}的前n項和S_n滿足：S_n=2a_n-4n，①
則：S_n-1=2a_n-1-4（n-1）（n≥2），②
①-②得：a_n=2a_n-2a_n-1-4，
整理得：a_n=2a_n-1+4，
恒等變換得：a_n+4=2（a_n-1+4），

an+4

an-1+4

=2（常數），
則：{a_n+4}是以（a₁+4）為首項，2為公比的等比數列．
an+4=(a1+4)2n-1，
當n=1時，代入①解得：a₁=4，
an+4=(4+4)2n-1=2n+2，
則：an=2n+2-4．
（2）bn=

an

λn

，由（1）得：bn=

2n+2-4

λn

，
由于若{b_n}為遞減數列，
所以：b_n+1-b_n＜0，
即：

2n+3-4

λn+1

-

2n+2-4

λn

＜0，
∵λ＞0，
∴整理得：λ＞

2n+3-4

2n+2-4

，
要使上式恒成立只需滿足：λ＞(

2n+3-4

2n+2-4

)max即可．
當n=1時，解得：λ＞3．

點評：本題考查的知識要點：構造新數列求通項公式，利用遞減數列求參數的范圍，恒成立問題的應用．