Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中， 平面PCD，平面PAD平面ABCD，CD⊥AD，△APD為等腰直角三角形， ．
（1）證明：平面PAB⊥平面PCD；
（2）若三棱錐B﹣PAD的體積為 ，求平面PAD與平面PBC所成二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：依題： CD⊥面PADCD⊥AP，

又AP⊥PD，∴AP⊥平面PCD，

又AP平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD；

（2）解： AB∥CD

由（1）知AB⊥面PAD∴ = ，

取AD中點(diǎn)O，PO⊥AD，平面PAD平面ABCD，∴PO平面ABCD，

以過點(diǎn)O且平行于AB的直線為x軸，如圖建系，各點(diǎn)坐標(biāo)如圖．

由（1）易知平面PAD的一法向量為 ，

設(shè)平面PBC的法向量為

. ， . ，

取x=2， . = ，

故所求二面角的余弦值為 ．

【解析】（1）依題意得CD⊥AP，AP⊥PD，即AP⊥平面PCD，可得平面PAB⊥平面PCD（2） ，AB∥CD

由（1）知AB⊥面PAD，由 = ，

取AD中點(diǎn)O，以過點(diǎn)O且平行于AB的直線為x軸建系，利用向量求解．

【考點(diǎn)精析】利用平面與平面垂直的判定對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．