Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Tn= n2﹣ n，且an+2+3log4bn=0（n∈N*）
（1）求{bn}的通項公式；
（2）數列{cn}滿足cn=anbn ， 求數列{cn}的前n項和Sn；
（3）若cn≤ m2+m﹣1對一切正整數n恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由Tn= n2﹣ n，易得an=3n﹣2代入到an+2+3log4bn=0（n∈N*）根據對數的運算性質化簡bn= （n∈N*），
（2）解：cn=anbn= ，∴ ∴

兩式相減整理得

（3）解：cn=anbn=（3n﹣2） ∴cn+1﹣cn=（3n+1） ﹣（3n﹣2） =9（1﹣n） （n∈N*），

∴當n=1時，c2=c1= ，

當n≥2時，cn+1＜cn，即c1=c2＞c3＞…＞cn，

∴當n=1時，cn取最大值是 ，又cn≤ m2+m﹣1對一切正整數n恒成立∴ m2+m﹣1≥ ，即m2+4m﹣5≥0，

解得：m≥1或m≤﹣5．

【解析】（1）由Tn= n2﹣ n，先求數列{an}的通項公式；代入到an+2+3log4bn=0（n∈N*）根據對數的運算性質化簡即可求出{bn}的通項公式；（2）把第一問求出的兩數列的通項公式代入cn=anbn中，確定出cn的通項公式，從而求數列{cn}的前n項和Sn；（3）表示出cn+1﹣cn ， 判斷得到其差小于0，故數列{cn}為遞減數列，令n=1求出數列{cn}的最大值，然后原不等式的右邊大于等于求出的最大值，列出關于m的一元二次不等式，求出不等式的解集即為實數m的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．