Question

已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AB=PA=PD=2，∠ABD=

π

3

，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EQ∥平面PAB；
（Ⅱ）求三棱錐B-PAD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取PB中點(diǎn)G，連接AG，QG，構(gòu)成四邊形AGQE，證明四邊形QGAE為平行四邊形，可得EQ∥AQ，即可證明EQ∥平面PAB；
（Ⅱ）證明BE⊥平面APD，利用V_P-BAD=

1

3

S△APD•EB，可求三棱錐B-PAD的體積．

解答： （I）證明：取PB中點(diǎn)G，連接AG，QG，構(gòu)成四邊形AGQE．
∵菱形ABCD中，AD=AB=2，而AB=PA=PD=2．
∴PB=PC（三角形中不等式性質(zhì)傳遞性），
∴在△PBC中，GQ∥BC，GQ=

1

2

BC．
而B(niǎo)C∥AE，∴四邊形QGAE為平行四邊形．
∴EQ∥AQ
而AQ?平面PAB，∴EQ∥平面PAB．
（II）解：由（I）得，△ADP為正三角形，∴PE⊥底面ABCD．
而∠ABD=

π

3

，∴在△ABD中BE⊥AD，∴BE⊥平面APD，
∴V_P-BAD=

1

3

S△APD•EB=

1

3

•

3

4

•4•

22-12

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考察線與平面之間的位置關(guān)系以及二面角的巧妙求解．