Question

如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，已知側(cè)面BB₁C₁C與底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠B₁BC=60°，BC=BB₁=2，若二面角A-B₁B-C為30°，
（Ⅰ）證明：面AA₁C₁C⊥平面BB₁C₁C及求AB₁與平面AA₁C₁C所成角的正切值；
（Ⅱ）在平面AA₁B₁B內(nèi)找一點(diǎn)P，使三棱錐P-BB₁C為正三棱錐，并求此時(shí)

VP-AA1C1C

VP-BB1C1C

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)條件和線面垂直的判定定理得：AC⊥面BB₁C₁C，再由面面垂直的判斷定理證明出面BB₁C₁C⊥面AA₁C₁C，再根據(jù)條件和線面垂直、面面垂直分別做出二面角A-BB₁-C的平面角、AB₁與面AA₁C₁C所成的線面角，并分別證明和計(jì)算求解；
（2）根據(jù)正三棱錐的定義和正三角形重心的性質(zhì)，找到點(diǎn)P，再由條件求出PP₁和點(diǎn)E到平面AA₁C₁C的距離，代入三棱錐的體積公式求出兩個(gè)棱錐的體積比值．

解答： 解：（Ⅰ）∵面BB₁C₁C⊥面ABC，且面BB₁C₁C∩面ABC=BC，AC⊥BC，
∴AC⊥面BB₁C₁C，
則面BB₁C₁C⊥面AA₁C₁C            （3分）
取BB₁中點(diǎn)E，連接CE，AE，
在△CBB₁中，BB₁=CB=2，∠CBB₁=60°
∴△CBB₁是正三角形，∴CE⊥BB₁，
又∵AC⊥面BB₁C₁C，且BB₁?面BB₁C₁C，
∴BB₁⊥AE，即∠CEA即為二面角A-BB₁-C的平面角為30°，
∵AC⊥面BB₁C₁C，
∴AC⊥CE，在Rt△ECA中，CE=

3

，
∴AC=CE•tan30°=1，取C₁C中點(diǎn)D，連接AD，B₁D，
∵△CBB₁是正三角形，且BB₁=CB=2，∴B₁D⊥C₁C，
∵AC⊥面BB₁C₁C，∴AC⊥面B₁D，
∵C₁C∩AC=C，∴B₁D⊥面AA₁C₁C，
即∠B₁DA即AB₁與面AA₁C₁C所成的線面角，
則tan∠DAB₁=

B1D

AD

=

6

2

，…（8分）
（Ⅱ）在CE上取點(diǎn)P₁，使

CP1

P1E

=

2

1

，
∵CE是△BB₁C的中線，∴P₁是△BB₁C的重心，
在△ECA中，過P₁作P₁P∥CA交AE于P，
∵AC⊥面BB₁C₁C，P₁P∥CA，
∴PP₁⊥面CBB₁，即P點(diǎn)在平面CBB₁上的射影是△BCB₁的中心，該點(diǎn)即為所求，
且

PP1

AC

=

1

3

，∴PP₁=

1

3

，
∵B₁D∥CE，且B₁D=CE=

3

，
∴

VP-AA1C1C

VP-BB1C1C

=

1 3 ×1×2× 2 3 × 3

1 3 ×2× 3 × 1 3

=2．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查了線面垂直的判定定理、面面垂直的判斷定理和性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用，二面角、線面角的求解構(gòu)成，以及三棱錐的體積公式的應(yīng)用，難度很大．