Question

設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）在x=

5π

12

處取得最大值3，其圖象與x軸的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為

π

2

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）當(dāng)

π

4

≤x≤

π

2

時(shí)，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）依題意，可知A=3，T=

2π

ω

=π，可求得ω=2；再由f（

5π

12

）=3，-π＜φ＜π，可求得φ，于是可得f（x）的解析式；
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）當(dāng)

π

4

≤x≤

π

2

時(shí)，

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，于是可求

3

2

≤3sin（2x-

π

3

）≤3，從而可得f（x）的取值范圍．

解答： 解：（1）依題意得A=3，

T

2

=

π

2

，
∴T=

2π

ω

=π，
解得：ω=2；
又2×

5π

12

+φ=2kπ+

π

2

（k∈Z），
∴φ=2kπ-

π

3

（k∈Z），又-π＜φ＜π，
∴φ=-

π

3

，
∴f（x）=3sin（2x-

π

3

）；
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，（k∈Z）
得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，（k∈Z）
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z）；
（3）當(dāng)

π

4

≤x≤

π

2

時(shí)，

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
∴

3

2

≤3sin（2x-

π

3

）≤3，即f（x）的取值范圍為[

3

2

，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性及最值，屬于中檔題．