Question

對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），給出定義：設f′（x）是函數(shù)y=f（x）的導數(shù)，f″（x）是函數(shù)f′（x）的導數(shù)，若方程f″（x）=0有實數(shù)解x₀，則稱（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．可以證明，任何三次函數(shù)都有“拐點”，任何三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心，請你根據(jù)這一結(jié)論判斷下列命題：
①任意三次函數(shù)都關于點(-

b

3a

，f(-

b

3a

))對稱：
②存在三次函數(shù)f′（x）=0有實數(shù)解x₀，點（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的對稱中心；
③存在三次函數(shù)有兩個及兩個以上的對稱中心；
④若函數(shù)g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²-

5

12

，則g(

1

2013

)+g(

2

2013

)+g(

3

2013

)+…+g(

2012

2013

)=-1006．
其中正確命題的序號為

 

（把所有正確命題的序號都填上）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：新定義

分析：①根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的對稱中心；
②③利用三次函數(shù)對稱中心的定義和性質(zhì)進行判斷；
④由函數(shù)g（x）的對稱中心是（

1

2

，-

1

2

），得g（x）+（g（1-x）=-1，由此能求出g（

1

2013

）+…+g（

2012

2013

）的值．

解答： 解：∵f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），
∴f′（x）=3ax²+2bx+c，f''（x）=6ax+2b，
∵f″（x）=6a×（-

b

3a

）+2b=0，
∴任意三次函數(shù)都關于點（-

b

3a

，f（-

b

3a

））對稱，即①正確；
∵任何三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心，
∴存在三次函數(shù)f′（x）=0有實數(shù)解x₀，點（x₀，f（x₀））為y=f（x）的對稱中心，即②正確；
任何三次函數(shù)都有且只有一個對稱中心，故③不正確；
∵g′（x）=x²-x，g^″（x）=2x-1，
令g^″（x）=0，可得x=

1

2

，∴g（

1

2

）=-

1

2

，
∴g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²-

5

12

的對稱中心為（

1

2

，-

1

2

），
∴g（x）+g（1-x）=-1，
∴g（

1

2013

）+g（

2

2013

）+…+g（

2012

2013

）=-1×1006=-1006，故④正確．
故答案為：①②④．

點評：本小題主要考查函數(shù)與導數(shù)等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，考查化簡計算能力，求函數(shù)的值以及函數(shù)的對稱性的應用，屬于難題．