Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0），其焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2．過焦點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A、B兩點(diǎn)．
（1）求拋物線C的方程；
（2）求△ABO（O為原點(diǎn)）面積的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2，求出p的值，可得拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：x=ty+1，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合面積公式，即可求△ABO面積的最小值；

解答： 解：（1）∵拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2，
∴p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x；
（2）焦點(diǎn)F（1，0），設(shè)直線l：x=ty+1．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則
代入y²=4x，消去x得y²-4ty-4=0，
∴y₁+y₂=4t，y₁•y₂=-4，
∴S_△ABO=

1

2

•1•|y₁-y₂|=

1

2

16t2+16

=2

t2+1

∴當(dāng)t=0時(shí)，S_△ABO取得最小值2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．