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8.已知橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)經(jīng)過(1,1)與(62,32)兩點(diǎn),
(1)橢圓C短軸頂點(diǎn)分別為A、B兩點(diǎn),橢圓C上一點(diǎn)M滿足|MA|=|MB|.求橢圓C的方程及1|OA|2+1|OB|2+2|OM|2的值;
(2)已知雙曲線E的焦點(diǎn)是橢圓C的左右頂點(diǎn),一條漸近線方程為y=x;求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程.

分析 (1)將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程,即可求得a和b的值,由題意可知M在長軸頂點(diǎn),即可求得1|OA|2+1|OB|2+2|OM|2的值;
(2)由(1)求得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo),由y=x,則雙曲線為等軸雙曲線,由雙曲線的關(guān)系,求得雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解答 解:(1)將(1,1)與(62,32)代入橢圓方程:{1a2+12=132a2+342=1,
解得:a2=3,b2=32,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:x23+2y23=1,
若點(diǎn)A,B在橢圓的短軸的頂點(diǎn)上,
則點(diǎn)M在長軸頂點(diǎn)上,則1|OA|2+1|OB|2+2|OM|2=12+12+2a2=2(1a2+12)=2,
1|OA|2+1|OB|2+2|OM|2的值2;
(2)由雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)F1(-3,0),F(xiàn)23,0),
由雙曲線的漸近線y=x,
則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:x232y232=1

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì),考查雙曲線漸近線方程,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.

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