Question

如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面所成的角為45°，底面ABCD為直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1.

(1)求證：平面PAC⊥平面PCD；

(2)在棱PD上是否存在一點(diǎn)E，使CE∥平面PAB？若存在，請(qǐng)確定E點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

 (1)證明：∵PA⊥平面ABCD，

∴PB與平面ABCD所成的角為∠PBA＝45°.∴AB＝1，

由∠ABC＝∠BAD＝90°，易得CD＝AC＝，∴AC⊥CD.

又∵PA⊥CD，PA∩AC＝A，

∴CD⊥平面PAC，又CD⊂平面PCD，

∴平面PAC⊥平面PCD.

(2)分別以AB、AD、AP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，設(shè)E(0，y，z)，則＝(0，y，z－1)，＝(0,2，－1)．

∵∥，

∴y·(－1)－2(z－1)＝0①

∵＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，

又＝(－1，y－1，z)，CE∥平面PAB.∴⊥.

∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0，∴y＝1.

將y＝1代入①，得z＝.∴E是PD的中點(diǎn)，

∴存在E點(diǎn)使CE∥平面PAB，此時(shí)E為PD的中點(diǎn).