Question

【題目】函數(shù) (為實(shí)數(shù)).

(1)若，求證：函數(shù)在上是增函數(shù)；

(2)求函數(shù)在上的最小值及相應(yīng)的的值；

(3)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)在上是增函數(shù)；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)， 在（0，+∞）上恒成立，故函數(shù)在（1，+∞）上是增函數(shù)；

（2）求導(dǎo)) ，當(dāng)x∈[1，e]時(shí)， ．分①，②，③，三種情況得到函數(shù)f（x）在[1，e]上是單調(diào)性，進(jìn)而得到[f（x）]min；

（3）由題意可化簡得到，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性求出最小值為．

試題解析：

(1)當(dāng)時(shí)， ，其定義域?yàn)?/span>，

，

當(dāng)時(shí)， 恒成立，

故函數(shù)在上是增函數(shù).

(2) ，

當(dāng)時(shí)， ，

①若， 在上有 (僅當(dāng)， 時(shí)， )，

故函數(shù)在上是增函數(shù)，此時(shí)；

②若，由，得，

當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)在區(qū)間上是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)， 在區(qū)間上是增函數(shù)，

故；

③若， 在上有 (僅當(dāng)， 時(shí)， )，

故函數(shù)在上是減函數(shù)，此時(shí)

綜上可知，當(dāng)時(shí)， 的最小值為1，相應(yīng)的的值為1；

當(dāng)時(shí)， 的最小值為，相應(yīng)的值為；

當(dāng)時(shí)， 的最小值為，相應(yīng)的的值為.

(3)不等式可化為，

因?yàn)?/span>，所以，且等號(hào)不能同時(shí)取，

所以，即，

所以，

令，

則，

當(dāng)時(shí)， ， ，

從而 (僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))，

所以在上為增函數(shù)，所以的最小值為，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.