在△ABC中，三邊BC、AC、AB的 長(zhǎng)分別為a、b、c，若a=4，E為邊BC的中點(diǎn)．
（1）若
AB
•
AC
=1，求BC邊上的中線AE的長(zhǎng)；
（2）若△ABC面積為3
2
，求
AB
•
AC
的最小值．
考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用,基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,向量在幾何中的應(yīng)用
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：（1）利用
AB
•
AC
=1，以及余弦定理列出方程組，通過cos∠AEB+cos∠AEC=0，即可求BC邊上的中線AE的長(zhǎng)；
（2）利用△ABC面積為3
2
，以及余弦定理求出bc的最值，然后利用基本不等式求
AB
•
AC
的最小值．
解答： 解：（1）由題意知
bccosA=1
b2+c2-2bccosA=16
可得b2+c2=18，…（2分）
又
c2=AE2+4-4AEcos∠AEB
b2=AE2+4-4AEcos∠AEC
，且cos∠AEB+cos∠AEC=0，
相加得AE=
5
．…（6分）
（2）由條件得
1
2
bcsinA=3
2
b2+c2-2bccosA=16
即
bcsinA=6
2
bccosA=
b2+c2-16
2

平方相加得72+(
b2+c2-16
2
)2=b2c2，…（10分）72+(
b2+c2-16
2
)2=b2c2≤
(b2+c2)2
4
⇒b2+c2≥17
AB
•
AC
=bccosA=
b2+c2-16
2
≥
1
2
，
即當(dāng)b=c時(shí)，
AB
•
AC
的最小值為
1
2
．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理的應(yīng)用，向量的數(shù)量積以及基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
16
-
y2
9
=1及點(diǎn)P（2，1），是否存在過點(diǎn)P的直線l，使直線l被雙曲線截得的弦恰好被P點(diǎn)平分？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

△ABC中a=6，b=6
3
，A=30°則邊C=
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若“?x∈R，?x0∈R，f（x）＞g（x0）”，則有（　�。�
A、f（x）max＞g（x）min
B、f（x）max＞g（x）max
C、f（x）min＞g（x）max
D、f（x）min＞g（x）min

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）計(jì)算：0.064-
1
3
-(-
1
8
)0+16
3
4
+0.25
1
2
；
（2）若10x=3，10y=4，計(jì)算102x-y的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù) f（x）=2x+x，g（x）=x-
1
x
，h（x）=log3x+x的零點(diǎn)依次為a，b，c，則把a(bǔ)，b，c按照從小到大的順序排列為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別a、b、c，已知a2-c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，則b=（　　）
A、4
B、4
2
C、2
3
D、3
3

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
e1
，
e2
是夾角為
2π
3
的兩個(gè)單位向量，
a
=
e1
-2
e2
，
b
=k
e1
+
e2
，若
a
⊥
b
則實(shí)數(shù)k的值為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

計(jì)算下列各式的值
①
6
1
4
-
33
3
8
+
40.0625
+[（0.064 
1
3
）-2.5] 
2
5
-π0
②lg52+
2
3
lg8+lg5•lg20+（lg2）2．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案