Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ（ρ﹣2sinθ）＝1．

（1）求C的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)直線l與y軸相交于P，與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，且|PA|+|PB|＝2，求點(diǎn)O到直線l的距離．

Answer 1

【答案】（1）x2+（y﹣1）2＝2（2）

【解析】

（1）把曲線C的極坐標(biāo)方程變形，結(jié)合ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得C的直角坐標(biāo)方程；

（2）直線l與y軸的交點(diǎn)為P（0，﹣1），曲線C是圓心為C（0，1），半徑為的圓，由CP＝2可得P（0，﹣1）在圓外，將直線l的參數(shù)方程代入x2+（y﹣1）2＝2，得到關(guān)于t的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及參數(shù)t的幾何意義求解．

（1）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ（ρ﹣2sinθ）＝1，

化簡得：ρ2﹣2ρcosθ﹣1＝0，

由ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，

得C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2﹣2y﹣1＝0，即x2+（y﹣1）2＝2；

（2）直線l與y軸的交點(diǎn)為P（0，﹣1），曲線C是圓心為C（0，1），半徑為的圓，

∵CP＝2，∴P（0，﹣1）在圓外，

將直線l的參數(shù)方程代入x2+（y﹣1）2＝2，

得t2﹣4tsinα+2＝0．

∴t1+t2＝4sinα，又P（0，﹣1）在圓外，

∴t1，t2同號(hào)，

∴|PA|+|PB|＝|t1|+|t2|＝|t1+t2|＝|4sinα|＝2，

得|sinα|，可得直線l的斜率為．

設(shè)點(diǎn)O到直線l的距離為h，則h＝|OP|sin60°．

即點(diǎn)O到直線l的距離為．