Question

已知函數(shù)f（x）=sinωx（ω＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)ω=1時(shí)，函數(shù)y=f（x）經(jīng)過怎樣的變換得到函數(shù)y=sin（2x+

π

6

），請(qǐng)寫出變化過程；
（Ⅱ）若y=f（x）圖象過（

2π

3

，0）點(diǎn)，且在區(qū)間（0，

π

3

）上是增函數(shù)，求ω的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）當(dāng)ω=1時(shí)，函數(shù)f（x）=sinx，根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得結(jié)論．
（II）由f（x）的圖象過（

2π

3

，0）點(diǎn)，得sin

2π

3

ω=0，ω=

3

2

k，當(dāng)k=1時(shí)，ω=

3

2

，檢驗(yàn)滿足條件；當(dāng)k≥2時(shí)，ω≥3，f（x）在（0，

π

3

）上不是增函數(shù)，從而求得ω的值．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)ω=1時(shí)，函數(shù)f（x）=sinx，把f（x）的圖象向左平移

π

6

個(gè)單位，可得f（x）=sin（x+

π

6

）的圖象，
再保持每點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，可得函數(shù)y=sin（2x+

π

6

）的圖象．
（II）由f（x）的圖象過（

2π

3

，0）點(diǎn)，得sin

2π

3

ω=0，所以

2π

3

ω=kπ，k∈z．
即ω=

3

2

k，當(dāng)k=1時(shí)，ω=

3

2

，f（x）=sin

3

2

x，其周期為

4π

3

，此時(shí)f（x）在（0，

π

3

）上是增函數(shù)．
當(dāng)k≥2時(shí)，ω≥3，f（x）=sinωx的周期為

2π

ω

≤

2π

3

＜

4π

3

，
此時(shí)f（x）在（0，

π

3

）上不是增函數(shù)，故只有ω=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．