Question

已知x∈R，奇函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在[1，+∞）上單調(diào)，則a，b，c應(yīng)滿足的條件是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,函數(shù)奇偶性的性質(zhì),奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性確定a=c=0，然后利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）=x³+ax²+bx+c是奇函數(shù)，
∴f（0）=c=0，
f（-x）=-f（x），
即-x³+ax²-bx=-x³-ax²-bx，
則a=-a，解得a=0，
則f（x）=x³+bx，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=2x²+b，
若b≥0，則f′（x）≥0恒成立，此時滿足在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
若b＜0，
由f′（x）=2x²+b≥0，解得x≥

-b 2

或x≤-

-b 2

，
即在[

-b 2

，+∞）上單調(diào)遞增，
若f（x）=x³+ax²+bx+c在[1，+∞）上單調(diào)，
則滿足

-b 2

≤1，
解得-2≤b＜0，
綜上b≥-2，
故滿足的條件是a=c=0，b≥-2，
故答案為：a=c=0，b≥-2

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)奇函數(shù)的定義以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．