Question

在某校教師趣味投籃比賽中，比賽規(guī)則是：每場(chǎng)投6個(gè)球，至少投進(jìn)4個(gè)球且最后2個(gè)球都投進(jìn)者獲獎(jiǎng)；否則不獲獎(jiǎng)．已知教師甲投進(jìn)每個(gè)球的概率都是

2

3

．
（1）記教師甲在每場(chǎng)的6次投球中投進(jìn)球的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（2）求教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6，依條件可知X～B（6，

2

3

），由此可得分布列；
（2）設(shè)教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)為事件A，則甲獲獎(jiǎng)包括后兩次投進(jìn)，前4次投進(jìn)2次、3次、4次三種情況，由互斥事件概率加法公式可求P（A）；

解答： 解：（1）X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6，
依條件可知X～B（6，

2

3

），
P（X=k）=

C

k 6

•（

2

3

）^k•（

1

3

）^6-k（k=0，1，2，3，4，5，6），
X的分布列為：

X	0	1	2	3	4	5	6
P	1 729	12 729	60 729	160 729	240 729	192 729	64 729

EX=

1

729

（0×1+1×12+2×60+3×160+4×240+5×192+6×64）=

2916

729

=4，
或因?yàn)閄～B（6，

2

3

），所以EX=6×

2

3

=4，即X的數(shù)學(xué)期望為4；
（2）設(shè)教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)為事件A，
則P（A）=

C

2 4

×（

1

3

）²×（

2

3

）⁴

+C

1 4

×

1

3

×（

2

3

）⁵+（

2

3

）⁶，
答：教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率為

32

81

．

點(diǎn)評(píng)：該題考查古典概型及其概率計(jì)算公式、離散型變量的分布及期望，屬中檔題．