Question

設函數(shù)f（x）=x²-（a-2）x-alnx．
（1）若函數(shù)f（x）在[1，2]上的最小值為1，求實數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個零點，求滿足條件的最小正整數(shù)a的值．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理,二次函數(shù)的性質

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）先求導，再分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調性求出a的值；
（2）利用導數(shù)的運算法則即可得出f′（x），并對a分類討論即可；結合根的存在性原理，可以判斷存在a₀∈（2，3），h（a₀）=0，當a＞a₀，h（a）＞0．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²-（a-2）x-alnx，
∴f′（x）=2x-（a-2）-

a

x

=

(x+1)(2x-a)

x

，
當

a

2

≥2，即a≥4時，f（x）單調遞減，f（x）_min=f（2）=4-2（a-2）-aln2=1，解得a=-

1

2+ln2

＜0（舍去）
當1＜

a

2

＜2時，即2＜a＜4時，f（x）在[1，

a

2

]單調遞增，在（

a

2

，2]單調遞減，f（x）_min=f（

a

2

）=-

a2

4

+a-aln

a

2

＜0≠1，
當

a

2

≤1時，即a≤2時，f（x）單調遞增，f（x）_min=f（1）=3-a=1，
解得a=2．

（2）由（1）得：f′（x）=2x-（a-2）-

a

x

=

(x+1)(2x-a)

x

，（x＞0），
①當a≤0時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
∴函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為（0，+∞）．
②當a＞0時，由f'（x）＞0，得x＞

a

2

，
由f′（x）＜0，得0＜x＜

a

2

，
∴函數(shù)的單調增區(qū)間為（

a

2

，+∞），單調減區(qū)間為（0，

a

2

）．
若函數(shù)有兩個零點，則a＞0，且f（x）的最小值為f（

a

2

）＜0，
即-a²+4a-4aln

a

2

＜0，
∵a＞0，∴a+ln

a

2

-4＞0，
令h（a）=a+ln

a

2

-4，顯然h（a）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
且h（2）=-2＜0，h（3）=4ln

3

2

-1=ln

81

16

-1＞0，
∴存在a₀∈（2，3），h（a₀）=0，當a＞a₀，h（a）＞0；
當0＜a＜a₀時，h（a）＜0．
∴滿足條件的最小整數(shù)a=3，
當a=3時，f（3）=3（2-ln3）＞0，f（1）=0，
∴a=3時f（x）有兩個零點．
綜上，滿足條件的最小值a的值為3．

點評：本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間以及根的存在性原理的運用．