Question

給出下列命題：
①函數(shù)y=

x

x2+4

在區(qū)間[1，3]上是增函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=2^x-x²的零點(diǎn)有3個(gè)；
③不等式|x+1|+|x-3|≥a恒成立，則a≤4；
④已知a，b∈R⁺，2a+b=1，則

2

a

+

1

b

≥8；
⑤φ=

3

2

π是函數(shù)y=sin（2x+φ）為偶函數(shù)的一個(gè)充分不必要條件．
其中真命題的序號(hào)是（請(qǐng)將所有正確命題的序號(hào)都填上）

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：計(jì)算題,作圖題,不等式的解法及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：①化簡函數(shù)y=

x

x2+4

=

1

x+ 4 x

，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；
②作y2^x與y=x²的圖象，圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)f（x）=2^x-x²的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
③|x+1|+|x-3|幾何意義是點(diǎn)x到點(diǎn)-1與點(diǎn)3的距離之和，從而得解；
④由基本不等式可判斷出

2

a

+

1

b

≥9，

2

a

+

1

b

≥8當(dāng)然也成立；
⑤當(dāng)φ=

3

2

π時(shí)，函數(shù)y=sin（2x+φ）=-cos2x是偶函數(shù)，當(dāng)φ=

1

2

π時(shí)，函數(shù)y=sin（2x+φ）也是偶函數(shù)；故是充分不必要條件．

解答： 解：①函數(shù)y=

x

x2+4

=

1

x+ 4 x

在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，[2，3]上是減函數(shù)，故錯(cuò)誤；
②作y2^x與y=x²的圖象如右圖，則函數(shù)f（x）=2^x-x²有3個(gè)零點(diǎn)，故正確；
③∵|x+1|+|x-3|幾何意義是點(diǎn)x到點(diǎn)-1與點(diǎn)3的距離之和，
且點(diǎn)-1與點(diǎn)3的距離為4；
故若不等式|x+1|+|x-3|≥a恒成立，則a≤4，故正確；
④已知a，b∈R⁺，2a+b=1，
則

2

a

+

1

b

=

4a+2b

a

+

2a+b

b

=5+2（

b

a

+

a

b

）≥9（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=

1

3

時(shí)，等號(hào)成立），故正確；
⑤當(dāng)φ=

3

2

π時(shí)，函數(shù)y=sin（2x+φ）=-cos2x是偶函數(shù)，
當(dāng)φ=

1

2

π時(shí)，函數(shù)y=sin（2x+φ）也是偶函數(shù)；
故φ=

3

2

π是函數(shù)y=sin（2x+φ）為偶函數(shù)的一個(gè)充分不必要條件，故正確．
故答案為：②③④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題借命題真假性的判斷同時(shí)考查了三角函數(shù)，基本不等式，不等式，絕對(duì)值不等式，函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的圖象的應(yīng)用等，綜合性很強(qiáng)，屬于難題．