Question

3．已知定點(diǎn)A（-1，1），動點(diǎn)P在拋物線C：y²=-8x上，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)．
（1）求|PA|+|PF|最小值；
（2）求以A為中點(diǎn)的弦所在的直線方程．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線的定義知|PA|+|PF|=|PA|+|PE|，當(dāng)A，P，E三點(diǎn)共線時(shí)最小，|PA|+|PF|取得最小值；
（2）利用點(diǎn)差法，求斜率，即可求以A為中點(diǎn)的弦所在的直線方程．

解答 解：（1）設(shè)拋物線C的準(zhǔn)線為l，所以l的方程為x=2，
設(shè)P到準(zhǔn)線的距離為d，垂足為E．由拋物線的定義知|PA|+|PF|=|PA|+|PE|，
當(dāng)A，P，E三點(diǎn)共線時(shí)最小，|PA|+|PF|最小值為3．-----（4分）
（2）設(shè)以A為中點(diǎn)的弦所在的直線交拋物線C于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）兩點(diǎn)，
所以x₁+x₂=-2，y₁+y₂=2，
又因?yàn)镸，N在拋物線C上，
則有y₁²=-8x₁，y₂²=-8x₂，做差化簡得 k_MN=-4------（8分）
又直線MN過點(diǎn)A（-1，1），所以有y-1=-4（x+1），
即以A為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為4x+y+3=0．------------（12分）

點(diǎn)評 本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，判斷當(dāng)A，P，E三點(diǎn)共線時(shí)最小，|PA|+|PF|取得最小值，是解題的關(guān)鍵．