Question

對于函數(shù)①f（x）=4x+

1

x

-5；②f（x）=|log₂x|-（

1

2

）^x；③f（x）=|x-1|-

x

；命題甲：f（x）在區(qū)間（1，2）上是增函數(shù)；命題乙：f（x）在區(qū)間（0，+∞]上恰有兩個零點x₁，x₂，且x₁x₂＜1．能使命題甲、乙均為真命題的函數(shù)有（　�。﹤�．

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：①求出導數(shù)，判斷在（1，2）的符號，即可判斷甲；令f（x）=0，解出方程，即可判斷乙．
②運用對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷甲；畫出函數(shù)y=|log₂x|，和y=（

1

2

）^x的圖象，即可判斷乙．
③求出導數(shù)，判斷在（1，2）的符號，即可判斷甲；令f（x）=0解出方程，即可判斷乙．

解答： 解：①f′（x）=4-

1

x2

在（1，2）上大于0，故f（x）在區(qū)間（1，2）上是增函數(shù)，故甲成立；令f（x）=0，即4x²-5x+1=0，即x₁=

1

4

，x₂=1，且x₁x₂＜1，故乙成立．故①符合題意．
②∵當x∈（1，2）時，log₂x＞0，
∴f（x）=log₂x-（

1

2

）^x，y=log₂x和y=-（

1

2

）^x在（1，2）上均為增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，2）上是增函數(shù)，故甲成立；
畫出函數(shù)y=|log₂x|，和y=（

1

2

）^x的圖象如圖：
可知f（x）在區(qū)間（0，+∞）上恰有兩個零點x₁，x₂，
且設x₁＜x₂，
∴|log₂x₁|＞|log₂x₂|，
∴-log₂x₁＞log₂x₂，
即log₂x₁+log₂x₂＜0，∴x₁x₂＜1，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上恰有兩個零點x₁，x₂，
且x₁x₂＜1，故乙成立．
故②符合題意；
③f′（x）=1-

1

2 x

＞0在（1，2）恒成立，故甲成立；
令f（x）=0，則|x-1|=

x

，解得x²-3x+1=0，故f（x）有兩個零點，但它們之間為1，
故乙不成立．③不符合題意．
故選C．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的零點問題，考查運用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及應用圖象和直接解方程判斷零點的個數(shù)，屬于中檔題．