Question

若P（x₀，y₀）（x₀≠a）是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，M，N分別是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，直線PM，PN的斜率的乘積等于-

1

4

．
（Ⅰ）求橢圓E的離心率e的值；
（Ⅱ）過(guò)橢圓E的右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
若C為橢圓上一點(diǎn)，滿足

OC

=λ

OA

+

OB

，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由已知得

x02

a2

+

y02

b2

=1，

y0

x0+a

•

y0

x0-a

=-

1

4

，由此能求出橢圓E的離心率e的值．
（Ⅱ）由方程組

x2+4y2=4b2 y=x-c

，得5x²-8cx+8b²=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），由此利用韋達(dá)定理、點(diǎn)差法，結(jié)合已知條件能求出λ．

解答： （本小題滿分15分）
解：（Ⅰ）∵P（x₀，y₀）（x₀≠a）是橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，
∴

x02

a2

+

y02

b2

=1，
∵M(jìn)，N分別是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，直線PM，PN的斜率的乘積等于-

1

4

，
∴

y0

x0+a

•

y0

x0-a

=-

1

4

，
∴a²=4b²，c²=3b²，
∴e=

c

a

=

3

2

．…（5分）
（Ⅱ）由方程組

x2+4y2=4b2 y=x-c

，
得5x²-8cx+8b²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

8c

5

，x1x2=

8b2

5

，
再設(shè)C（x₃，y₃），

OC

=λ

OA

+

OB

，即

x3=λx1+x2 y3=λy1+y2

，
由于C為橢圓上的點(diǎn)，即x32+4y32=4b²，
則（λx₁+x₂）²+4（λy₁+y₂）²=4b²，
整理得：λ2(x12+4y12)+(x22+4y22)+2λ（x₁x₂+4y₁y₂）=4b²．（*），
由于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在橢圓上，即x12+4y12=4b2，x22+4y22=4b2，
又x₁x₂+4y₁y₂=x₁x₂+4（x₁-c）（x₂-c）
=5x1x2-4c(x1+x2)+4c2
=8b2-

32

5

c2+4c2=

4

5

b2，
∴（*）式可化為4b2λ2+4b2+2λ•

4

5

b2=4b2，
即λ2+

2

5

λ=0，
解得：λ=0，或λ=-

2

5

．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓E的離心率e的求法，考查實(shí)數(shù)λ的值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．