Question

已知函數(shù)f（x）=cosx，x∈R，將函數(shù)y=f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的

1

2

倍（縱坐不變），再向左平移

π

4

個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g（x）的圖象，則關(guān)于f（x）•g（x）有下列命題，其中真命題的序號(hào)是

 

①函數(shù)y=f（x）•g（x）是奇函數(shù)；
②π是函數(shù)f（x）•g（x）的一個(gè)周期；
③函數(shù)f（x）•g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（π，0）中心對(duì)稱；
④函數(shù)f（x）•g（x）的最大值為

4 3

9

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由題意根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得f（x）•g（x）=-sin2xcosx，由此判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．

解答： 解：把函數(shù)f（x）=cosx，x∈R的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的

1

2

倍（縱坐不變），
可得函數(shù)y=cos2x 的圖象；再向左平移

π

4

個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g（x）=cos2（x+

π

4

）=-sin2x的圖象，
則f（x）•g（x）=-sin2xcosx，
顯然，函數(shù)y=f（x）•g（x）是奇函數(shù)，故①正確．
再根據(jù)把x換成x+π，函數(shù)值變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，可得π不是函數(shù)的周期．
再根據(jù)當(dāng)x=π時(shí)，函數(shù)的值為0，可得函數(shù)y=f（x）•g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（π，0）中心對(duì)稱，故③正確．
再根據(jù)f（x）•g（x）=-2sinx•cos²x=-2sinx（1-sin²x），
令sinx=t∈[-1，1]，則h（t）=-2t（1-t²）=2t³-2t．
∵h(yuǎn)′（t）=6t²-2，令 h′（t）=0，求得t=±

3

3

，
再利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求得h（t）的增區(qū)間為[-1，-

3

3

）、（

3

3

，1），減區(qū)間為（-

3

3

，

3

3

）．
故當(dāng)t=-

3

3

時(shí)，函數(shù)h（t）取得最大值為

4 3

9

，故④正確，
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．