Question

已知函數(shù)f（x）=log

1

2

1-ax

x-1

的圖象關(guān)于原點對稱，其中a為常數(shù)．
（1）求a的值；
（2）若當(dāng)x∈（1，+∞）時，f（x）+log

1

2

(x-1)＜m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)和對數(shù)的運算性質(zhì)即可解得
（2）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出

解答： 解：（1）由題意可得，f（x）為奇函數(shù)，故有 f（-x）=-f（x），即log

1

2

1-ax

x-1

=-log

1

2

1+ax

-x-1

，
∴

1-a2x2

1-x2

=1，
∴解得a=±1．
經(jīng)檢驗，當(dāng)a=1時不合條件，故a=-1．
（2）∵a=-1，
∴f（x）=log

1

2

1+x

x-1

，
∵當(dāng)x∈（1，+∞）時，f（x）+log

1

2

(x-1)＜m恒成立，
∴log

1

2

1+x

x-1

+log

1

2

(x-1)＜m恒成立，
∴m＞log

1

2

(x+1)在x∈（1，+∞）時，恒成立
∴m＞log

1

2

（1+1）=-1
∴實數(shù)m的取值范圍為（-1，+∞）

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，函數(shù)恒成立的問題，屬于中檔題．