Question

（理）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2AA₁=2，∠ABC=90°，D是BC的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A₁到面ADC₁的距離；
（2）試問(wèn)線段A₁B₁上是否存在點(diǎn)E，使AE與DC₁成60°角？若存在，確定E點(diǎn)位置，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由題意易得

A1A

的坐標(biāo)，可得平面ADC₁的法向量

n

的坐標(biāo)，而點(diǎn)A₁到面ADC₁的距離d=

| n • A1A |

| n |

，代值計(jì)算可得．
（2）假設(shè)線段A₁B₁上存在點(diǎn)E（0，y，1）使AE與DC₁成60°角，可得

AE

和

DC1

的坐標(biāo)，由cos＜

AE

，

DC1

＞=

1

2

可得y的方程，解方程可得．

解答： 解：（1）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
由題意可得B（0，0，0），A（0，2，0），A₁（0，2，1），
D（1，0，0），C₁（2，0，1），
∴

AD

=（1，-2，0），

AC1

=（2，-2，1），

A1A

=（0，0，-1），
設(shè)

n

=（x，y，z）為平面ADC₁的法向量，
則

n • AD =x-2y=0 n • AC1 =2x-2y+z=0

，解得

x=2y z=-2y

，
取y=1可得

n

=（2，1，-2），
∴點(diǎn)A₁到面ADC₁的距離d=

| n • A1A |

| n |

=

2

3

（2）假設(shè)線段A₁B₁上存在點(diǎn)E（0，y，1）使AE與DC₁成60°角，
則

AE

=（0，y-2，1），

DC1

=（1，0，1），
∴cos＜

AE

，

DC1

＞=

AE • DC1

| AE || DC1 |

=

1

(y-2)2+1 • 2

=

1

2

，
解得y=3或y=1，顯然y=3時(shí)點(diǎn)E不在線段A₁B₁上，應(yīng)舍去，
∴y=1，即存在點(diǎn)線段A₁B₁上存在點(diǎn)E（0，1，1）使AE與DC₁成60°角，此時(shí)E為線段A₁B₁的中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間距離和空間角，建立空間直角坐標(biāo)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．