Question

如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，|F₁F₂|=4，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，又A，B分別是橢圓C上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且滿足

AF1

=2

BF2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求直線AF₁的方程；
（Ⅲ）求四邊形ABF₂F₁的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：對(duì)于（Ⅰ），由焦距得c的值，由長(zhǎng)軸長(zhǎng)得a²的值，結(jié)合b²=a²-c²，即可得橢圓C的方程．
對(duì)于（Ⅱ），延長(zhǎng)AB，與x軸交于點(diǎn)M，由BF₂為△MAF₁的中位線，得M的坐標(biāo)，由此設(shè)直線AB的方程，聯(lián)立橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，消去x，得到關(guān)于y的一元二次方程，由韋達(dá)定理，得y₁+y₂及y₁y₂，又由

AF1

=2

BF2

，得y₁與y₂的關(guān)系式，于是得y₁，y₂，m的值，繼而求得x₁的值，可得AF₁的斜率，即可得直線AF₁的方程．
對(duì)于（Ⅲ），易知四邊形ABF₂F₁為梯形．由（Ⅱ）得x₂的值，從而得到|AF₁|及|BF₂|，再計(jì)算點(diǎn)M到直線AF₁的距離，即可根據(jù)梯形的面積公式計(jì)算出梯形ABF₂F₁的面積．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
由題意，得

2c=4 2a=6

，即

c2=4 a2=9

，從而b²=a²-c²=5，
所以橢圓C的方程為

x2

9

+

y2

5

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F(xiàn)₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），延長(zhǎng)AB，與x軸交于點(diǎn)M，
由

AF1

=2

BF2

知，BF₂為△MAF₁的中位線，
∴|MF₂|=|F₁F₂|，得M（6，0），如右圖所示．
設(shè)直線AB的方程為x=my+6，聯(lián)立

x2

9

+

y2

5

=1，
消去x，整理，得（9+5m²）y²+60my+135=0，
由韋達(dá)定理，得

y1+y2= -60m 9+5m2 y1y2= 135 9+5m2

．…①
又由

AF1

=2

BF2

，得（-2-x₁，-y₁）=2（2-x₂，-y₂），
∴y₁=2y₂．…②
聯(lián)立①、②，得

y1= 5 3 4 y2= 5 3 8 m=- 9 3 5

，從而x1=my1+6=-

3

4

，
于是AF₁的斜率kAF1=

5 3 4 -0

- 3 4 -(-2)

=

3

，
∴直線AF₁的方程為y=

3

(x+2)．
（Ⅲ）易知四邊形ABF₂F₁為梯形．
由（Ⅱ）知，x2=my2+6=-

11

8

，
從而|AF₁|=

(x1+2)2+ y 2 1

=

5

2

，|BF₂|=

(x2-2)2+ y 2 2

=

5

4

．
又點(diǎn)F₂（2，0）到直線AF₁：

3

x-y+2

3

=0的距離
d=

| 3 ×2-0+2 3 |

2

=2

3

，
∴S梯形ABF2F1=

( 5 2 + 5 4 )×2 3

2

=

15 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：1．本題綜合性較強(qiáng)，考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢圓的相交關(guān)系及四邊形面積的求法等，充分挖掘圖形的幾何特征是求解本題的突破口．
2．對(duì)于相交弦問題，常利用根與系數(shù)的關(guān)系（即韋達(dá)定理）探究坐標(biāo)之間的關(guān)系；對(duì)于向量共線問題，常共線的充要條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的關(guān)系．
3．對(duì)于四邊形面積的求解，一般先判斷四邊形的形狀，再確定求解方式，或?qū)⑺倪呅无D(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形處理．