Question

已知f（x）=log₄（4^x+1）-kx（k∈R）為偶函數(shù)．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）=log₄（-a•2^x-a）的圖象有兩個交點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由 f（-x）=f（x），可得 2kx=log₄4^x，即4^x=4^2kx，可得2k=1，從而求得k的值．
（Ⅱ）由題意可得log₄（4^x+1）-kx=log₄（-a•2^x-a）有2個實數(shù)根，化簡可得 （1+a）2^2x+a•2^x+1=0 有2個實數(shù)根．令t=2^x，則（1+a）t²+at+1=0 有2個正實數(shù)根，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得a的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=log₄（4^x+1）-kx（k∈R）為偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x），
即 log₄（4^-x+1）+kx=log₄（4^x+1）-kx，化簡可得 2kx=log₄4^x，∴4^x=4^2kx，∴2k=1，∴k=

1

2

．
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）=log₄（-a•2^x-a）的圖象有兩個交點，
則方程log₄（4^x+1）-kx=log₄（-a•2^x-a）有2個實數(shù)根，即方程 log₄

4x+1

4kx

=log₄（-a•2^x-a）有2個實數(shù)根，
即

4x+1

2x

=-a•2^x-a 有2個實數(shù)根，即 4^x+1=-a•2^2x-a•2^x 有2個實數(shù)根，
即（1+a）2^2x+a•2^x+1=0 有2個實數(shù)根．
令t=2^x，則（1+a）t²+at+1=0 有2個正實數(shù)根，
∴

△=a2-4(1+a)＞0 t1+t2=- a a+1 ＞0 t1•t2= 1 a+1 ＞0

，求得-1＜a＜2-2

2

．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．