Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

1

2

ax²+bx（a＞0）且導(dǎo)數(shù)f′（1）=0．
（Ⅰ）試用含有a的式子表示b，并求f（x）單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）＜2-

1

2

ax²對(duì)一切正數(shù)x都成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），先求導(dǎo)，再求f′（1）=1-a+b=0，由此得到b=a-1．再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，由此能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）f（x）＜2-

1

2

ax²對(duì)一切正數(shù)x都成立，分離變量a后得到a＜

2-lnx

x

+1，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，則a的取值范圍可求．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∵f′（x）=

1

x

-ax+b，f′（1）=1-a+b=0，
得：b=a-1．
將b=a-1代入得f′（x）=

1

x

-ax+a-1=-

(ax+1)(x-1)

x

．
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，-

(ax+1)(x-1)

x

＞0．
由x＞0，得（ax+1）（x-1）＜0，
∵a＞0，
∴0＜x＜1，即f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，-

(ax+1)(x-1)

x

＜0，
由x＞0，得（ax+1）（x-1）＞0，
∵a＞0，∴x＞1，
即f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
（Ⅱ）∵f（x）＜2-

1

2

ax²對(duì)一切正數(shù)x都成立，
∴l(xiāng)nx-

1

2

ax²+（a-1）x＜2-

1

2

ax²對(duì)一切正數(shù)x都成立，
∴ax＜2+x-lnx對(duì)一切正數(shù)x都成立，
即a＜

2-lnx

x

+1對(duì)一切正數(shù)x都成立，
設(shè)g（x）=

2-lnx

x

，
∴g′（x）=

lnx-3

x2

，
令g′（x）=0，解得x=e³，
當(dāng)g′（x）＞0時(shí)，即x＞e³，函數(shù)g（x）遞增，
當(dāng)g′（x）＜0時(shí)，即0＜x＜e³，函數(shù)g（x）遞減，
故當(dāng)x=e³，函數(shù)有極小值，即為最小值，g（e³）=

2-lne3

e3

=-e^-3，
∴a＜1-e^-3，
故a的取值范圍為（-∞，1-e^-3）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值，考查了分離變量法，訓(xùn)練了利用函數(shù)單調(diào)性比較不等式的大小是有一定難度題目