設是定義在的可導函數,且不恒為0,記.若對定義域內的每一個,總有,則稱為“階負函數 ”;若對定義域內的每一個,總有,則稱為“階不減函數”(為函數的導函數).
(1)若既是“1階負函數”,又是“1階不減函數”,求實數的取值范圍;
(2)對任給的“2階不減函數”,如果存在常數,使得恒成立,試判斷是否為“2階負函數”?并說明理由.
(1)
(2)所有滿足題設的都是“2階負函數”
解析試題分析:解:(1)依題意,在上單調遞增,
故 恒成立,得, 2分
因為,所以. 4分
而當時,顯然在恒成立,
所以. 6分
(2)①先證:
若不存在正實數,使得,則恒成立. 8分
假設存在正實數,使得,則有,
由題意,當時,,可得在上單調遞增,
當時,恒成立,即恒成立,
故必存在,使得(其中為任意常數),
這與恒成立(即有上界)矛盾,故假設不成立,
所以當時,,即; 13分
②再證無解:
假設存在正實數,使得,
則對于任意,有,即有,
這與①矛盾,故假設不成立,
所以無解,
綜上得,即,
故所有滿足題設的都是“2階負函數”. 16分
考點:新定義
點評:主要是考查了新定義的運用,以及函數與方程的運用,屬于中檔題。
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知函數,其中為大于零的常數,,函數的圖像與坐標軸交點處的切線為,函數的圖像與直線交點處的切線為,且.
(I)若在閉區(qū)間上存在使不等式成立,求實數的取值范圍;
(II)對于函數和公共定義域內的任意實數,我們把的值稱為兩函數在處的偏差.求證:函數和在其公共定義域內的所有偏差都大于2.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
“活水圍網”養(yǎng)魚技術具有養(yǎng)殖密度高、經濟效益好的特點.研究表明:“活水圍網”養(yǎng)魚時,某種魚在一定的條件下,每尾魚的平均生長速度(單位:千克/年)是養(yǎng)殖密度(單位:尾/立方米)的函數.當不超過4(尾/立方米)時,的值為(千克/年);當時,是的一次函數;當達到(尾/立方米)時,因缺氧等原因,的值為(千克/年).
(1)當時,求函數的表達式;
(2)當養(yǎng)殖密度為多大時,魚的年生長量(單位:千克/立方米)可以達到最大,并求出最大值.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
某工廠某種產品的年固定成本為250萬元,每生產千件,需另投入成本為,當年產量不足80千件時,(萬元).當年產量不小于80千件時,(萬元),每件商品售價為0.05萬元,通過市場分析,該廠生產的商品能全部售完.
(Ⅰ)寫出年利潤(萬元)關于年產量(千件)的函數解析式;
(Ⅱ)年產量為多少千件時,該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大?
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
某商場準備在五一勞動節(jié)期間舉行促銷活動,根據市場調查,該商場決定從3種服裝商品、2種家電商品、4種日用商品中,選出3種商品進行促銷活動.
(Ⅰ)試求選出的3種商品中至少有一種日用商品的概率;
(Ⅱ)商場對選出的A商品采用的促銷方案是有獎銷售,即在該商品現(xiàn)價的基礎上將價格提高90元,同時允許顧客有3次抽獎的機會,若中獎,則每次中獎都可獲得一定數額的獎金.假設顧客每次抽獎時獲獎與否是等可能的,請問:商場應將中獎獎金數額最高定為多少元,才能使促銷方案對自己有利?
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