Question

【題目】已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，，

（1）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

（2）若在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由，求出，當(dāng)時(shí)，易知不等式成立；當(dāng)時(shí)，恒成立可轉(zhuǎn)化為恒成立，令，求導(dǎo)判斷的單調(diào)性，求出最小值，即可得到的取值范圍；

（2）由（1）知，，從而，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，且，所以要使在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，只需時(shí)，和沒有交點(diǎn)，對(duì)、、三種情況分類討論，可得的取值范圍.

（1）由題意，，由，解得，

所以，

①當(dāng)時(shí)，，，不等式成立，

②當(dāng)時(shí)，恒成立可轉(zhuǎn)化為恒成立，

令，，

，

令，則，

因?yàn)?/span>，所以恒成立，

在上單調(diào)遞減，，

又時(shí)，，所以，

所以在上單調(diào)遞減，，

所以；

（2）由（1）知，，

所以，

則，

所以是偶函數(shù)，且，

所以要使在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

只需時(shí)，和沒有交點(diǎn).

①當(dāng)時(shí)，，

，解得，，不成立；

②當(dāng)時(shí)，和的圖象如圖1所示，

由圖像知，當(dāng)時(shí)，和相交于原點(diǎn)，

和只有一個(gè)交點(diǎn)，故時(shí)成立；

③當(dāng)時(shí)，和的圖象如圖2所示，

有圖象知，要使和只有一個(gè)交點(diǎn)，

則對(duì)任意，有，即，

即在恒成立，

，當(dāng)時(shí)，恒成立，

所以即在單調(diào)遞增，，

此時(shí)成立，符合題意，

當(dāng)時(shí)，存在，使得在上遞減，此時(shí)，不合題意，

綜上所述，當(dāng)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，.