Question

設奇函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，且f（1）=0，則不等式

f(x)-f(-x)

x

＜0的解集為（　　）

• A、（-1，0）∪（1，+∞）
• B、（-∞，-1）∪（0，1）
• C、（-1，0）∪（0，1）
• D、（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

考點：函數單調性的性質,奇偶性與單調性的綜合

專題：函數的性質及應用

分析：根據函數為奇函數求出f（1）=0，再將不等式x f（x）＜0分成兩類加以分析，再分別利用函數的單調性進行求解，可以得出相應的解集．

解答： 解：∵f（x）為奇函數，且在（0，+∞）上是增函數，f（1）=0，
∴f（1）=-f（-1）=0，在（-∞，0）內也是增函數
∴

f(x)-f(-x)

x

=

2f(x)

x

＜0，
即

x＞0 f(x)＜0

或 

x＜0 f(x)＞0

根據在（-∞，0）和（0，+∞）內是都是增函數
解得：x∈（-1，0）∪（0，1）
故選：C

點評：本題主要考查了函數的奇偶性的性質，以及函數單調性的應用等有關知識，屬于基礎題．結合函數的草圖，會對此題有更深刻的理解．