Question

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）令

①當(dāng)時，求函數(shù)在點處的切線方程；

②若時，恒成立，求的所有取值集合與的關(guān)系；

（Ⅱ）記，是否存在，使得對任意的實數(shù)，函數(shù)在上有且僅有兩個零點？若存在，求出滿足條件的最小正整數(shù)，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）①；②見解析；（2）2

【解析】

（1）①根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解切線的方程；②由，即，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解.

（Ⅱ）令 ，，根據(jù)題意，由和，及存在，使得，分類討論，即可求解.

（1）①由題意，可得，

則，所以，

所以在處的切線方程為

②由，即

則，，

因為在上單調(diào)遞減，所以，

存在，使得，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，

由得，，

∴，所以的所有取值集合包含于集合.

（Ⅱ）令 ，

（1），，

由于，，，，，

由零點存在性定理可知，，函數(shù)在定義域內(nèi)有且僅有一個零點.

（2），，，，，

同理可知，函數(shù)在定義域內(nèi)有且僅有一個零點.

（3）假設(shè)存在，使得，

則，消，得.

令，，所以單調(diào)遞增.

∵，，∴，

此時，

所以滿足條件的最小正整數(shù).