Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在與x=1時都取得極值
（1）求a，b的值與函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)極值的意義，對函數(shù)求導(dǎo)，使得導(dǎo)函數(shù)等于0，得到關(guān)于a，b的關(guān)系式，解方程組即可；
（2）由（1）得，由于x∈[-1，2]恒成立求出函數(shù)的最大值值為f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c²列出不等式，求出c的范圍即可．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b…（1分）
由f′(-

2

3

)=

12

9

-

4

3

a+b=0，f′（1）=3+2a+b=0，
得a=-

1

2

，b=-2…（4分），
函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間如下表：

x	(-∞，- 2 3 )	- 2 3	(- 2 3 ，1)	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是(-∞，-

2

3

)，（1，+∞），遞減區(qū)間是(-

2

3

，1)；…（7分）
（2）f(x)=x3-

1

2

x2-2x+c，x∈[-1，2]，當(dāng)x=-

2

3

時，f(-

2

3

)=

22

27

+c為極大值，
f（1）=-

3

2

+c，f（2）=2+c，f(-1)=

1

2

+c則2+c為最大值，…（10分）
要使f（x）＜c²，x∈[-1，2]恒成立，則只需要2+c＜c²，…（12分）
解得c＜-1，或c＞2．

點評：本題考察了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，最值問題，是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題，是一道中檔題．