Question

已知集合A={x|x²+4x=0}，函數(shù)B={x|x²+2（a+1）x+a²-1=0}．
（1）求使A∩B=B的實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）使A∪B=B的實(shí)數(shù)a的取值．

Answer 1

考點(diǎn)：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用

專題：算法和程序框圖

分析：（1）若A∩B=B，則A?B，分類求出滿足條件的a的取值范圍，最后綜合討論結(jié)果，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若A∪B=B，則A⊆B，結(jié)合B中元素滿足性質(zhì)為二次方程的根及（1）中結(jié)論，可得答案．

解答： 解：（1）∵A={x|x²+4x=0}={-4，0}，又∵A∩B=B，即A?B．
∴B=∅或{0}或{-4}或{0，-4}．
當(dāng)B=∅時(shí)，方程x²+2（a+1）x+a²-1=0無(wú)實(shí)數(shù)解，
∴△=4（a+1）²-4（a²-1）＜0．
解得a＜-1．
當(dāng)B={0}或{-4}時(shí)，方程x²+2（a+1）x+a²-1=0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，
∴△=4（a+1）²-4（a²-1）=0，得a=-1，此時(shí)B={0}，滿足題意．
當(dāng)B={-4，0}時(shí)，方程x²+2（a+1）x+a²-1=0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根-4，0，
則-2（a+1）=-4+0且a²-1=0，
解得a=1，此時(shí)B={x|x²+4x=0}={-4，0}，滿足題意．
綜合以上可知a≤-1或a=1．
（2）由（1）得A={0，-4}．A∪B=B，即A⊆B．
又∵B為二次方程解集，其中最多有2個(gè)元素，
∴B={0，-4}，即方程x²+2（a+1）x+a²-1=0有兩根為0和-4．
由（1）可得a=1．
因此，若A∪B=B，則a=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用，本題體現(xiàn)了分類討論思想，要注意空集這一特殊集合．