Question

如圖1，在中，，，，、分別為、的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于，將沿折起，使平面平面，如圖2所示．

求證：平面；

求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；

在線段上是否存在點(diǎn)使得平面？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

(1)在中，為AC的中點(diǎn)，又，所以三角形為等邊三角形；為BD的中點(diǎn)，于E,因?yàn)槠矫?sub>平面，交線為BD，平面，所以平面；

(2)由（1）結(jié)論知：平面，，由題意知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系_{，由（1）得，}

_{計(jì)算：}

_{則，，則}，易知平面的一個(gè)法向量為，

設(shè)平面的法向量為，則

，即，

令. .

所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為

（3）設(shè)，其中，

，其中，，由解得.

所以在線段上存在點(diǎn)，使平面，且：：.