Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求證:函數(shù)在上為增函數(shù);

（2）當(dāng)時(shí),若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

（3）設(shè),試討論函數(shù)的零點(diǎn)情況.

Answer 1

【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）（3）答案見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明,即可求得答案;

（2）設(shè),當(dāng)時(shí),恒成立,得到關(guān)于的不等式組,即可求得答案;

（3）求出的值域,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求方程的實(shí)數(shù)根,令,得到方程,求出的值,通過(guò)討論的范圍,即可求得答案．

（1）設(shè) 是上的任意兩個(gè)數(shù),且,則

則

,

即

在上遞增；

（2）,即

設(shè)

即當(dāng)時(shí),恒成立,

,

解得:

實(shí)數(shù)的范圍是

（3）

x＞0,則

,

即,

當(dāng)時(shí),由（1）得遞增,遞增,

遞增,

g(x)的值域是,

的大致圖象如圖示:

,

函數(shù)的零點(diǎn)

方程的實(shí)數(shù)根,

令,即

解得:或,

時(shí),滿足條件的實(shí)數(shù)根有且只有一個(gè),

,

當(dāng),即時(shí),函數(shù)有個(gè)零點(diǎn),

當(dāng),即時(shí),函數(shù)只有個(gè)零點(diǎn),

當(dāng) ,即時(shí),函數(shù)F(x)有個(gè)零點(diǎn),

綜上所述,時(shí),函數(shù)只有個(gè)零點(diǎn),

時(shí),函數(shù)有個(gè)零點(diǎn),

時(shí),函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)．