設(shè)a∈R,函數(shù)f(x)=ax3-3x2
(1)若x=2是y=f(x)的極值點(diǎn),求a的值及f(x)在[-1,1]上的最大值和最小值;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)+f′(x)在x∈(0,2]上恒有g(shù)(x)≤0,求a的取值范圍.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)由已知得f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2).由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的值及f(x)在[-1,1]上的最大值和最小值.
(2)g(x)=ax2+3(a-1)x2-6x=x[ax2+6(a-1)x-6].g(0)=0.由已知得a
3x+6
x2+3x
對一切x∈(0,2]都成立.令h(x)=
3x+6
x2+3x
,x∈(0,2],則a≤[h(x)]min,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍.
解答: 解:(1)∵f(x)=ax3-3x2,f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2).
∵x=2是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn),∴f′(2)=0,即6(2a-2)=0,解得a=1,
經(jīng)驗(yàn)證,當(dāng)a=1時(shí),x=2是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn).
∴f(x)=x3-3x2.…(4分)
由f′(x)=3x2-6x=0,得x0=0,x2=2,
又x∈[-1,1],∴x2=2(舍)
∵f(-1)=-4,f(1)=-2,f(0)=0,
∴f(x)在[-1,1]上的最大值是f(0)=0,最小值是f(-1)=-4.…(6分)
(2)由題設(shè),g(x)=ax2+3(a-1)x2-6x=x[ax2+6(a-1)x-6].g(0)=0.
當(dāng)x∈(0,2]上恒有g(shù)(x)≤0時(shí),ax3+3(a-1)x2-6x≤0對一切x∈(0,2]都成立,…(7分)
即a
3x+6
x2+3x
對一切x∈(0,2]都成立.令h(x)=
3x+6
x2+3x
,x∈(0,2],
則a≤[h(x)]min,…(9分)
h(x)=
-3(x+2)2-6
(x2+3x)2
<0
,知h(x)=
3x+6
x2+3x
在x∈(0,2]上單調(diào)遞減,
∴]h(x)]min=h(2)=
6
5
,∴a的取值范圍是(-∞,
6
5
].…(12分)
點(diǎn)評:本題主要考查極值的概念、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識,同時(shí)考查推理論證能力,分類討論等綜合解題能力.解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊系列答案
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3
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