Question

設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=ax³-3x²．
（1）若x=2是y=f（x）的極值點，求a的值及f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+f′（x）在x∈（0，2]上恒有g(shù)（x）≤0，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出a的值及f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值．
（2）g（x）=ax²+3（a-1）x²-6x=x[ax²+6（a-1）x-6]．g（0）=0．由已知得a≤

3x+6

x2+3x

對一切x∈（0，2]都成立．令h（x）=

3x+6

x2+3x

，x∈（0，2]，則a≤[h（x）]_min，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³-3x²，f′（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．
∵x=2是函數(shù)y=f（x）的極值點，∴f′（2）=0，即6（2a-2）=0，解得a=1，
經(jīng)驗證，當a=1時，x=2是函數(shù)y=f（x）的極值點．
∴f（x）=x³-3x²．…（4分）
由f′（x）=3x²-6x=0，得x₀=0，x₂=2，
又x∈[-1，1]，∴x₂=2（舍）
∵f（-1）=-4，f（1）=-2，f（0）=0，
∴f（x）在[-1，1]上的最大值是f（0）=0，最小值是f（-1）=-4．…（6分）
（2）由題設(shè)，g（x）=ax²+3（a-1）x²-6x=x[ax²+6（a-1）x-6]．g（0）=0．
當x∈（0，2]上恒有g(shù)（x）≤0時，ax³+3（a-1）x²-6x≤0對一切x∈（0，2]都成立，…（7分）
即a≤

3x+6

x2+3x

對一切x∈（0，2]都成立．令h（x）=

3x+6

x2+3x

，x∈（0，2]，
則a≤[h（x）]_min，…（9分）
由h′(x)=

-3(x+2)2-6

(x2+3x)2

＜0，知h（x）=

3x+6

x2+3x

在x∈（0，2]上單調(diào)遞減，
∴]h（x）]_min=h（2）=

6

5

，∴a的取值范圍是（-∞，

6

5

]．…（12分）

點評：本題主要考查極值的概念、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證能力，分類討論等綜合解題能力．解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．